Equipo numero #5
FACTORIZACION.
Para entender la operación algebraica llamada factorización es preciso repasar los siguientes conceptos:
Cualquier expresión que incluya la relación de igualdad (=) se llama ecuación.
Una ecuación se denomina identidad si la igualdad se cumple para cualquier valor de las variables; si la ecuación se cumple para ciertos valores de las variables pero no para otros, la ecuación es condicional.
Un término es una expresión algebraica que sólo contiene productos de constantes y variables; 2x, – a, 3x son algunos ejemplos de términos.
La parte numérica de un término se denomina coeficiente.
Los coeficientes de cada uno de los ejemplos anteriores son 2, – 1, y 3.
Una expresión que contiene un solo término se denomina monomio; si contiene dos términos se llama binomio y si contiene tres términos, es un trinomio.
Un polinomio es una suma (o diferencia) finita de términos.
En este contexto, el grado es el mayor exponente de las variables en un polinomio. Por ejemplo, si el mayor exponente de la variable es 3, como en ax3 + bx2 + cx, el polinomio es de tercer grado.
Una ecuación lineal en una variable es una ecuación poli nómica de primer grado; es decir, una ecuación de la forma ax + b = 0.
Se les llama ecuaciones lineales porque representan la fórmula de una línea recta en la geometría analítica. Una ecuación cuadrática en una variable es una ecuación poli nómica de segundo grado, es decir, de la forma ax2 + bx + c = 0.
Un número primo es un entero (número natural) que sólo se puede dividir exactamente por sí mismo y por 1. Así, 2, 3, 5, 7, 11 y 13 son todos números primos.
Las potencias de un número se obtienen mediante sucesivas multiplicaciones del número por sí mismo. El término a elevado a la tercera potencia, por ejemplo, se puede expresar como a·a·a o a3
Los factores primos de un cierto número son aquellos factores en los que éste se puede descomponer de manera que el número se puede expresar sólo como el producto de números primos y sus potencias.
Descomposición de números naturales en sus factores primos
Por ejemplo, un número natural como 20 puede expresarse como un producto de números de diferentes formas:
20 = 2 • 10 = 1 • 20 = 4 • 5
En cada uno de estos casos, los números que forman el producto son los factores.
Es decir, cuando expresamos el número 20 como el producto 2 • 10, a cada uno de los números (2 y 10) se les denomina factor.
En el caso de 1 • 20 los factores son 1 y 20 y finalmente en el caso de 4 • 5, los factores son 4 y 5.
Cada uno de los números 1, 2, 4, 5, 10, 20 se denominan a su vez divisores de 20.
Otro ejemplo, los factores primos de 15 son 3 y 5. Del mismo modo, como 60 = 22 • 3 • 5, los factores primos de 60 son 2, 3 y 5.
Debe recordarse, además, que cuando un número es divisible únicamente por sí mismo y por la unidad el número se denomina primo.
Factorización y productos notables
Así como los números naturales pueden ser expresados como producto de dos o más números, los polinomios pueden ser expresados como el producto de dos o más factores algebraicos.
Cuando un polinomio no se puede factorizar se denomina irreducible. En los casos en que la expresión es irreducible, solo puede expresarse como el producto del número 1 por la expresión original.
Al proceso de expresar un polinomio como un producto de factores se le denomina factorización.
El proceso de factorización puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar.
Factorizar, entonces, quiere decir identificar los factores comunes a todos los términos y agruparlos.
Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.
Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras.
Así, factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.
En otras palabras, dada una expresión algebraica complicada, resulta útil, por lo general, el descomponerla en un producto de varios términos más sencillos.
Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o reescribir, como 2x2(x + 4y).
Algunos ejemplos:
De la expresión ab2 + 3cb b3 podemos factorizar b
y obtenemos la expresión: b(ab + 3c b2) (1)
Veamos paso a paso cómo se obtuvo la expresión:
ahora podríamos reacomodar la expresión que queda dentro del paréntesis:
Finalmente si sustituimos este último resultado en (1), obtenemos:
ab2 + 3cb b3 = b (b (a b) + 3c)
ab2 + 3cb b3 = b (ab b2 + 3c)
ab2 + 3cb b3 = b (ab +3c –b2)
Por otro lado, algunos productos sencillos que tienen una estructura determinada y que pueden ser evaluados de forma directa se denominan Productos notables. En general los casos de factorización corresponden a los casos de productos notables.
Antes de mostrar ejercicios de aplicación de factorización y productos notables, es necesario recordar la forma de hallar el máximo común divisor (mcd) de un conjunto de números dados.
Ejemplo: Determinar el máximo común divisor (mcd) de los números 56, 42 y 28.
El máximo común divisor de un conjunto de números dados corresponde al mayor número natural que los divide simultáneamente, con residuo cero.
