En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. == Introduccidshcbdchgzxvcxhgbvcdgvcvsfjcb ijo de putisima dbcshdvchjbdhvcheffjev mcnf8====D ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:
Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial: (1) Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.
Si buscamos la palabra “lineal” en un diccionario, encontraremos algo como lo siguiente: lineal, adj. Relativo a las líneas o de aspecto de línea. En matemáticas la palabra “lineal” significa algo más que eso. Sin embargo, gran parte de la teoría del álgebra lineal elemental es de hecho una generalización de las propiedades de las líneas rectas. Como repaso, damos aquí algunos de los hechos fundamentales acerca de las citadas rectas:
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) esta dada por (si x2 " x1).
m = y2 - y1 = y
x2 - x 1 x
2. Si X2 - X1 = 0 y y2 " y1 entonces la recta es vertical y se
dice que la pendiente no esta definida.
Cualquiera recta (excepto una con pendiente indefinida), se pude describir expresando su ecuación en la forma simplificada y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (el valor de y en el punto donde la recta cruza al eje y).
Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.
Si la ecuación de una recta es ax + by = c (b "0) entonces, como se ve fácilmente, m = - a/b
Si m1 es la pendiente de la recta L1, m2 la del L2, m1 " 0 y L1, L2 son perpendiculares, entonces m2 = - 1m1.
Las rectas paralelas al eje x tienen pendiente cero.
Las rectas paralelas al eje y tienen pendiente indefinida.
DOS ECUACIONES LINEALES EN DOS INCOGNITAS
Consideramos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas x1 y x2:
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
donde a11, a12, a22, b1 y b2 son números dados. Cada una de estas ecuaciones es la ecuación de una línea recta (en el plano x1 x2 en vez del plano xy). La pendiente de la primera recta es -a11/a12 y la pendiente de la segunda es -a21/a22 (si a12 " 0 y a22 " 0). Una solución del sistema (1) es un par de números, denotados (x1, x2), que satisface (1). Las preguntas que surgen naturalmente son: ¿cuándo (1) tiene soluciones? y, si la tiene, ¿cuántas son? Responderemos a estas preguntas después de ver algunos ejemplos. En estos ejemplos usaremos dos propiedades importantes del álgebra elemental:
Propiedad A. Si a = b y c = d entonces a + c = b + d
Propiedad B. Si a = b y c es cualquier número real,
entonces ca = cb.
La propiedad A dice que si sumamos dos ecuaciones obtenemos una tercera ecuación valida. La B dice que si multiplicamos ambos lados de una ecuación por una constante obtenemos una segunda ecuación valida.
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
ResponderEliminarEl problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
== Introduccidshcbdchgzxvcxhgbvcdgvcvsfjcb ijo de putisima dbcshdvchjbdhvcheffjev mcnf8====D ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:
Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:
(1)
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.
http://www.monografias.com/trabajos47/aporte-algebra/Image2867.gif
ResponderEliminarNTRODUCCION
ResponderEliminarSi buscamos la palabra “lineal” en un diccionario, encontraremos algo como lo siguiente: lineal, adj. Relativo a las líneas o de aspecto de línea. En matemáticas la palabra “lineal” significa algo más que eso. Sin embargo, gran parte de la teoría del álgebra lineal elemental es de hecho una generalización de las propiedades de las líneas rectas. Como repaso, damos aquí algunos de los hechos fundamentales acerca de las citadas rectas:
La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) esta dada por (si x2 " x1).
m = y2 - y1 = y
x2 - x 1 x
2. Si X2 - X1 = 0 y y2 " y1 entonces la recta es vertical y se
dice que la pendiente no esta definida.
Cualquiera recta (excepto una con pendiente indefinida), se pude describir expresando su ecuación en la forma simplificada y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es la ordenada al origen (el valor de y en el punto donde la recta cruza al eje y).
Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.
Si la ecuación de una recta es ax + by = c (b "0) entonces, como se ve fácilmente, m = - a/b
Si m1 es la pendiente de la recta L1, m2 la del L2, m1 " 0 y L1, L2 son perpendiculares, entonces m2 = - 1m1.
Las rectas paralelas al eje x tienen pendiente cero.
Las rectas paralelas al eje y tienen pendiente indefinida.
DOS ECUACIONES LINEALES EN DOS INCOGNITAS
Consideramos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales en dos incógnitas x1 y x2:
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
donde a11, a12, a22, b1 y b2 son números dados. Cada una de estas ecuaciones es la ecuación de una línea recta (en el plano x1 x2 en vez del plano xy). La pendiente de la primera recta es -a11/a12 y la pendiente de la segunda es -a21/a22 (si a12 " 0 y a22 " 0). Una solución del sistema (1) es un par de números, denotados (x1, x2), que satisface (1). Las preguntas que surgen naturalmente son: ¿cuándo (1) tiene soluciones? y, si la tiene, ¿cuántas son? Responderemos a estas preguntas después de ver algunos ejemplos. En estos ejemplos usaremos dos propiedades importantes del álgebra elemental:
Propiedad A. Si a = b y c = d entonces a + c = b + d
Propiedad B. Si a = b y c es cualquier número real,
entonces ca = cb.
La propiedad A dice que si sumamos dos ecuaciones obtenemos una tercera ecuación valida. La B dice que si multiplicamos ambos lados de una ecuación por una constante obtenemos una segunda ecuación valida.